If $x\otimes y=(x+y{)}^2-(x-y{)}^2$ . Then $\sqrt{5} \otimes \sqrt{5} =?$

প্রদত্ত অপারেশনটি হলো:

\(x \circledast y = (x+y)^2 - (x-y)^2\)

আমরা জানি, বীজগাণিতিক সূত্র অনুযায়ী:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

এবং

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

এখন, প্রদত্ত অপারেশনের ডান পাশের অংশটি সম্প্রসারিত (expand) করি:

\(x \circledast y = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)\)

বন্ধনী তুলে দিলে চিহ্ন পরিবর্তন হবে:

\(x \circledast y = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2\)

একই রকম পদগুলো যোগ-বিয়োগ করলে:

\(x \circledast y = (x^2 - x^2) + (y^2 - y^2) + (2xy + 2xy)\)

\(x \circledast y = 0 + 0 + 4xy\)

\(x \circledast y = 4xy\)

এখন, আমাদের \(\sqrt{5} \circledast \sqrt{5}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এখানে \(x = \sqrt{5}\) এবং \(y = \sqrt{5}\)।

মান বসিয়ে পাই:

\(\sqrt{5} \circledast \sqrt{5} = 4 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}\)

আমরা জানি, \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)। সুতরাং, \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)।

\(\sqrt{5} \circledast \sqrt{5} = 4 \times 5\)

\(\sqrt{5} \circledast \sqrt{5} = 20\)

এই সমস্যাটি সরাসরি একটি বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। আমরা জানি যে:

\((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\)

সুতরাং, প্রদত্ত অপারেশন \(x \circledast y = (x+y)^2 - (x-y)^2\) কে সরাসরি \(x \circledast y = 4xy\) লেখা যায়।

এখন, \(x = \sqrt{5}\) এবং \(y = \sqrt{5}\) বসিয়ে পাই:

\(\sqrt{5} \circledast \sqrt{5} = 4 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}\)

\(= 4 \times 5\)

\(= 20\)